Otázka vektorového priestoru?

Môže mi niekto pomôcť zistiť tieto dve otázky? Vaša pomoc bude veľmi ocenená. Vopred ďakujem!

1.

Nech V je množina všetkých kladných reálnych čísel. Určte, či je V i vektorový priestor pomocou nasledujúcich operácií.

x + y = xy (doplnenie)

cx = x ^ c (skalárne násobenie)

duchovný význam kukurice

Ak ide o vektorový priestor, overte každú axiómu vektorového priestoru; ak nie, uveďte všetky axiómy vektorového priestoru, ktoré zlyhajú.

dva.

Nech x, yaz sú vektory vo vektorovom priestore V. Ukážte, že množina všetkých lineárnych kombinácií x, yaz

W = {ax + by + cz: a, b a c sú skaláre}

je podpriestorom V.

3 odpovede

• RobertObľúbená odpoveď

  1. Nech V je množina všetkých kladných reálnych čísel. Určte, či je V i vektorový priestor pomocou nasledujúcich operácií.

  x + y = xy (doplnenie)

  cx = x ^ c (skalárne násobenie)

  jednou z vlastností je, že 0x = 0 (vektor)

  ale s týmto skalárnym násobením 0x = x ^ 0 = 1,

  nemôže to teda byť vektorový priestor.

  Ak ide o vektorový priestor, overte každú axiómu vektorového priestoru; ak nie, uveďte všetky axiómy vektorového priestoru, ktoré zlyhajú.

  2. Nech x, yaz sú vektory vo vektorovom priestore V. Ukážte, že množina všetkých lineárnych kombinácií x, yaz

  W = {ax + by + cz: a, b a c sú skaláre}

  je podpriestorom V.

  treba skontrolovať:

  1. 0 vo W:

  ale ak a = b = c = 0, potom 0 je vo W.

  2. ak sú v a w vo W, je potrebné zistiť, či w + v je tiež vo W

  v = a1x + b1y + c1z

  w = a2x + b2y + c2z

  v + w = ​​(a1 + a2) x + (b1 + b2) y + (c1 + c2) z

  preto v + w je tiež vektor vo W.

• ?

  Vektorové priestory sú matematickou abstrakciou. Niekedy si ich môžete predstaviť, niekedy nie. Spomenuli ste vektorový priestor pozostávajúci zo skutočných polynómov stupňa 2 (alebo menej! To je dôležité, pretože x ^ 2 + 1 plus -x ^ 2 nie je polynómom stupňa 2!). Tento vektorový priestor je však v skutočnosti izomorfný s R ^ 3 (trojrozmerný euklidovský priestor) tak, že nastavíme {1, x, x ^ 2} ako základné vektory pre polynomiálny priestor a zobrazíme 1 -> (1, 0, 0 ), x -> (0, 1, 0), x ^ 2 -> (0, 0, 1). Takže ak vám to pomôže predstaviť si to, môžete sa na to pozerať ako na R ^ 3. Myšlienka vektorového priestoru je taká, že obsahuje tieto základné prvky, a preto ho môžete vždy nejakým spôsobom rozdeliť. Ale buďte opatrní, pretože nie všetky vektorové priestory sú konečné. Napríklad priestor všetkých skutočných spojitých funkcií možno považovať za nekonečný trojrozmerný vektorový priestor nad reáliami. Skúste si to predstaviť!

• dr_no4458

  1. V nie je vektorový priestor, zlyháva v aditívnej identite

  x + 0 = 0 + x = x, pre všetky X vo V, ale

  x + 0 = x * 0 = 0, ktoré sa nerovná x